方程曲线y=e^(298x+151y)图像画法

    本经验通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性等，介绍函数y=e^(298x+151y)的图像的主要步骤。

方法/步骤

1、※.方程曲线的定义域

方程曲线表达式为y=e^(298x+151y),即y>0,取对数有：

lny=298x+151y，则：298x=lny-151y.

设298x=F(y)=lny-151y,把y看成自变量，求导得：

F'(y)=(1/y)-151=(1-151y)/y.

令F'(y)=0，则y=1/151≈0.007.

1)当0<y0;

2)当y>1/151时，F'(y)<0。

所以，当y=1/151时，F(y)有最大值，即：

298x≤F(y)max=-(1+ln151)

x≤-(1+ln151)/298≈-0.020.

即方程曲线的定义域为：(-∞，-0.020]。

2、※.方程曲线的单调性

对方程两边同时对x求导，得：

y=e^(298x+151y)

y’=e^(298x+151y)(298+151y＇)

y’=298e^(298x+151y)/[1-151e^(298x+151y)]

即：y’=298y/(1-151y).

导数y’的符号与(1-151y)的符号一致，方程曲线的单调性为：

(1).当y∈(0,1/151]时，y’＞0，此时方程y随x的增大而增大；

(2).当y∈(1/151,+∞）时，y’＜0，此时方程y随x的增大而减小。

3、※.方程曲线的凸凹性

∵y’=-298y/(151y-1)，

∴y”=-298[y'(151y-1)-151yy’]/(151y-1)²

=-298y’/(151y-1)²

=298²y/(1-151y)³，则y”的符号与(1-151y)的符号一致。

方程曲线的凸凹区间为：

(1)当y∈(0,1/151]时，y”＞0，此时方程曲线y为凹曲线;

(2)当y∈(1/151,+∞）时，y”＜0，此时方程曲线y为凸曲线。

4、   二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y’=f'(x)仍然是x的函数，则y’=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。

      如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f”(x)<=0。

5、※.函数的图像示意图

函数上部分点解析如下表所示，综合函数的单调性和凸凹性，并结合函数的定义域，即可画出函数的图像示意图。

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