一元函数单调性与单调区间求解例题解析H

      本文通过导数知识，介绍一元函数单调性与单调区间的计算步骤，通过6种函数进行例题解析。

主要方法步骤

1、例题1：讨论y=e^x-3x-1的单调性。

解：y=e^x-3x-1,则y´=e^x-3.

令y´=0，则x=ln3.判断导数的符号为：

(1)当x≥ln3时，y´≥0，此时函数为增函数，

函数的增区间为[ln3,+∞）；

(2)当x＜ln3时，y´＜0，此时函数为减函数。

函数的减区间为(-∞，ln3)。

2、例题2：讨论函数f(x)=2x^3-3x^2+1的单调性。

解：y=2x^3-3x^2+1,

y´=6x^2-6x=6x(x-1).

令y´=0，即x1=0,x2=1，则：

(1)当x∈(-∞，0]，[1,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(0，1)时，y´＜0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

3、例题3：判断y=(1/3)x^3+(1/2)x^2的单调性。

解：y=(1/3)x^3+(1/2)x^2,

y´=x^2+x=x(x+1).

令y´=0，即x1=-1,x2=0，则：

(1)当x∈(-∞，-1]，[0,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-1，0)时，y´＜0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

4、例题4：求函数f(x)=(x+2)(x+4)^(2/3)的单调区间。

解：y=(x+2)(x+4)^(2/3).

y´=(x+4)^(2/3)+(2/3)(x+2)(x+4)^(-1/3)

=(1/3)(x+4)^(-1/3)*(5x+16).

令y´=0，即x1=-16/5，又x2=-4处导数不存在，则：

(1)当x∈(-∞，-4]，(-16/5,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-4，-16/5)时，y´＜0，此时函数为减函数。

5、例题5：求f(x)=x^2(x-3)^2的单调区间。

解：y=x^2(x-3)^2,

y´=2x(x-3)^2+2x^2(x-3)=2x(x-3)(2x-3).

令y´=0，即x1=0，x2=3/2，x3=3则：

(1)当x∈(0，3/2],(3,+∞）时，y´＞0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-∞，0]，[3/2,3]时，y´≤0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

6、例题6：讨论y=(x-2)3√x^2的单调性。

解：y=(x-2)x^(2/3).

y´=x^(2/3)+(2/3)(x-2)x^(-1/3)

=(1/3)x^(-1/3)*(5x-4).

令y´=0，即x1=4/5，又x2=0处导数不存在，则：

(1)当x∈(-∞，0)，[4/5,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(0，4/5)时，y´＜0，此时函数为减函数。

7、通过上述例子，可见此类型讨论函数的单调性或求函数的单调区间的主要步骤。

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