不定积分82x³/√25-75x²的计算

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫82x³/√25-75x²dx的计算步骤。

方法/步骤

1、介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，计算不定积分的详细过程与步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(82/75)[x(25-75x^2)-25x]dx/√(25-75x^2)

=-(82/75)∫x(25-75x^2)dx/√(25-75x^2)+ (82/3)∫xdx/√(25-75x^2)

=-(82/75)∫x√(25-75x^2)dx-1025*1/75^2∫d(25-75x^2)/√(25-75x^2)

=-41*1/75^2∫√(25-75x^2)d(25-75x^2)- 2050*1/75^2√(25-75x^2)

=(82/3) *1/75^2√(25-75x^2)^3-2050 *1/75^2*√(25-75x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=82∫x^2*xdx/√(25-75x^2)

   =-(41/75)∫x^2d(25-75x^2)/√(25-75x^2)

   =-(41/75)∫x^2d√(25-75x^2)=-(41/75)x^2√(25-75x^2)+(41/75) ∫√(25-75x^2)dx^2

   =-(41/75)x^2√(25-75x^2)-41*1/75^2∫√(25-75x^2)d(25-75x^2)

   =-(41/75)x^2√(25-75x^2)-(82/3)*1/75^2√(25-75x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(1/3)sint，则cost=(1/√25)√(25-75x^2),此时：

I=(2050/75)*√(1/3)∫sin^3td[√(1/3)sint]/√(25-25sin^2t),

=82*(1/3)^2∫sin^3tcostdt/√25*cost,

=(2050√25 /75^2)∫sin^3tdt,

=(2050√25 /75^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

5、=(2050√25 /75^2)∫sintdt-(2050√25 /75^2)∫sintcos^2 tdt

=-(2050√25 /75^2)cost+(2050√25 /75^2)∫cos^2tdcost=-(2050√25 /75^2)cost+(2050√25 /3*75^2)cos^3t+c

 =-(2050/75^2)√(25-75x^2)+(82/3)*(1/75^2)√(25-75x^2)^3+c.

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