三维不等式柯西定理应用举例详解A1

     本文介绍三维不等式柯西定理及其证明，并通过四个例子来详细说明该不等式的数学实际应用。

方法/步骤

1、三维不等式柯西定理：

(s₁²+s₂²+s₃²)(t₁²+t₂²+t₃²)≥(s₁t₁+s₂t₂+s₃t₃)²。

定理证明：

证明：

定义函数f(x)为:

f(x)=(s₁+t₁x)²+(s₂+t₂x)²,

将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得

f(x)=(t₁²+t₂²)x²+2(s₁t₁+s₂t₂)x+(s₁²+s₂²)

因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即

Δ=4(s₁t₁+s₂t₂)²−4(t₁²+t₂²)(s₁²+s₂²)≤0

所以: (t₁²+t₂²)(s₁²+s₂²)≥(s₁t₁+s₂t₂)².

令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即

s₁+t₁x=0⇒x=−s₁/t₁,

s₂+t₂x=0⇒x=−s₂/t₂;

则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：

s₁/t₁=s₂/t₂,证毕。

2、※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=276,x²+y²+z²=162,求ax+by+cz的最小值。

解：直接使用上述柯西三维不等式有：

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,

代入数值即可得：

276*162≥(ax+by+cz)²,即：

(ax+by+cz)²≤44712,

由于所有变量均为正数，则：

ax+by+cz≤2√11178，

所以ax+by+cz的最小值为：2√11178.

3、※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=176,求x+y+z的最小值。

解：使用柯西三维不等式有：

(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：

(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：

176*3≥(x+y+z)²,进一步有：

(x+y+z)²≤528，

所以正数x+y+z的最小值=4√33。

4、※.若a+b+c=54,求361a²+196b²+36c²的最小值。

解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。

361a²+196b²+36c²=(19a)²+(14b)²+(6c)²

进一步变形为：

[(19a)²+(14b)²+(6c)²][(1/19)²+(1/14)²+(1/6)²]，

≥[(19a/19)+(14b /14)+(6c/6)]²，

=(a+b+c)²=54²，即：

(361a²+196b²+36c²)*(22702*2²/1596²)≥54²，

所以：361a²+196b²+36c²≥(1/22702)*43092²。

5、※.若30x+14y+5z=625,求x²+y²+z²的最小值。

解：运用三维柯西不等式，有：

(x²+y²+z²)(30²+14²+5²)≥(30x+14y+5z)²,即：

(x²+y²+z²)(30²+14²+5²)≥625²,

(x²+y²+z²)*1121≥625²,

x²+y²+z²≥625²/(1121),

即：x²+y²+z²≥390625/1121,

所以x²+y²+z²的最小值=390625/1121。

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