隐函数39x²+81y²+64z²=19的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数39x²+81y²+64z²=19的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵39x²+81y²+64z²=19,

∴78xdx+162ydy+128zdz=0，即：

64zdz=-39xdx-81ydy,

dz=-39xdx/64z-81ydy/64z，所以：

dz/dx=-39x/64z，dz/dy=-81y/64z。

2、 

直接求导法：

39x²+81y²+64z²=19,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

78x+0+128zdz/dx=0

64zdz/dx=-39x，即：dz/dx=-39x/64z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+162y+128zdz/dy=0

64zdz/dy=-81y，即：dz/dy=-81y/64z.

3、 

构造函数求导：

F(x,y,z)=39x²+81y²+64z²-19，则：

Fz=128z，Fx=78x，Fy=162y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-78x/128z=-39x/64z;

dz/dy=-Fy/Fz=-162y/128z=-81y/64z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-39x/64z，

∴∂²z/∂²x=-39/64*(z+xdz/dx)/z²

=-39/64*(z+39x²/64z)/z²

=-39/4096*(64z²+39x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-81y/64z.

∴∂²z/∂²y=-81/64*(z+ydz/dy)/z²

=-81/64*(z+81y²/64z)/z²

=-81/4096*(64z²+81y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-39x/64z，dz/dy=-81y/64z.

∴∂²z/∂x∂y =39/64*(xdz/dy)/z²

=39/64*(-81xy/64z)/z²

=-3159/4096*xy/z³.

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