二次函数y=9x^2/5+x/5+1的性质归纳

本文主要介绍二次函数y=9x^2/5+x/5+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

方法/步骤

1、介绍二次函数y=9x^2/5+x/5+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

2、函数的定义域与值域：

1）定义域：函数为二次函数，由函数特征知函数的定义域为全体实数，即定义域为：（-∞，+∞）。

2）值域：该二次函数开口向上，函数有最小值，在顶点处达到，所以值域为：[179/180，+∞）。

3、函数的对称轴与单调性：

因为函数y=9×2/5+x/5+1，其对称轴为：

x0=-1/18,函数开口向上，所以函数的单调性为：

在区间（-∞，-1/18]上，函数为单调减函数；

在区间(-1/18 ,+∞）上，函数为单调增函数。

4、函数一阶导数及其应用

求函数的一阶导导数，并求函数在点A(-1,13/5),B(-1/2,27/20),C(1/2,31/20),D(1,3),E(-1/18,179/180)处的切线方程。

5、解：∵y=9×2/5+x/5+1，

∴y’=18x/5+x/5.

(1)在点A(-1,13/5)处，切线的斜率k为：

   k=-17/5,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

   y-13/5=-17/5(x+1)。

(2)在点B(-1/2,27/20)处，切线的斜率k为：

   k=-8/5,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

   y-27/20=-8/5(x+1/2)。

6、(3)在点C(1/2, 31/20)处，切线的斜率k为：

    k=2,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

    y-31/20=2/1(x-1/2)。

(4)在点D(1, 3/1)处，切线的斜率k为：

   k=19/5,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

   y-3=19/5(x-1)。

7、(5)在点D(-1/18,179/180)处，因为该点是二次函数抛物线的顶点，所以其切线是一条平行于x轴的直线，并过点D,则此时的切线方程为：y=179/180。

函数的凸凹性：

通过初高中知识我们知道，二次函数开口向上时，函数图像为凹函数。在这里，我们用导数的知识判断函数的凸凹性。

∵y’=18x/5+x/5,

∴y”=18/5>0,即二阶导数为正数，则函数在整个定义域上为凹函数。

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