不定积分17x³.√26-4x²的计算步骤

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫17x³/√26-4x²dx的计算步骤。

方法/步骤

1、介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，计算不定积分的详细过程与步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(17/4)[x(26-4x^2)-26x]dx/√(26-4x^2)

=-(17/4)∫x(26-4x^2)dx/√(26-4x^2)+ (221/2)∫xdx/√(26-4x^2)

=-(17/4)∫x√(26-4x^2)dx-(221/1)*1/4^2∫d(26-4x^2)/√(26-4x^2)

=-17 *1/4^2∫√(26-4x^2)d(26-4x^2)- 442*1/4^2√(26-4x^2)

=(34/3) *1/4^2√(26-4x^2)^3-442*1/4^2*√(26-4x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=17∫x^2*xdx/√(26-4x^2)

   =-(17/8)∫x^2d(26-4x^2)/√(26-4x^2)

   =-(17/8)∫x^2d√(26-4x^2)=-(17/8)x^2√(26-4x^2)+(17/8) ∫√(26-4x^2)dx^2

   =-(17/8)x^2√(26-4x^2)-(17/2)*1/4^2∫√(26-4x^2)d(26-4x^2)

   =-(17/8)x^2√(26-4x^2)-(17/3)*1/4^2√(26-4x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

5、设x=√(13/2)sint，则cost=(1/√26)√(26-4x^2),此时：

I=(442/4)*√(13/2)∫sin^3td[√(13/2)sint]/√(26-26sin^2t),

=17*(13/2)^2∫sin^3tcostdt/√26*cost,

=(442√26 /4^2)∫sin^3tdt,

=(442√26 /4^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(442√26 /4^2)∫sintdt-(442√26 /4^2)∫sintcos^2 tdt

=-(442√26 /4^2)cost+(442√26 /4^2)∫cos^2tdcost=-(442√26 /4^2)cost+(442√26 /3*4^2)cos^3t+c

 =-(442/4^2)√(26-4x^2)+(17/3)*(1/4^2)√(26-4x^2)^3+c. 

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