计算ab在条件a+36b=9时最大值的主要过程和步骤

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在已知条件下的最大值。

方法/步骤

1、本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在a+36b=9条件下的最大值。

主要公式：

1.(sina)^2+(cosa)^2=1。

2.ab≤(a+b)^2/2。

2、思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(1/4-1/36*a)

=-1/36*a^2+1/4*a

=-1/36(a-9/2)^2+9/16，

则当a=9/2时，ab有最大值为9/16。

3、思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

a+36b=9,

a+36p/a=9,

a^2-9a+36p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-144p≥0,即：

p≤9/16,

此时得ab=p的最大值=9/16。

4、思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由a+36b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设a=9(cost)^2，36b=9(sint)^2，则：

a=9(cost)^2,b=1/4(sint)^2,代入得：

ab=9(cost)^2*1/4(sint)^2,

=9/16*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=9/16。

5、思路四：中值代换法

设a=9/2+t,36b=9/2-t，则：

a=(9/2+t),b=(1/36)(9/2-t)

此时有：

ab=1/36*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/36*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤9/16,

则ab的最大值为9/16。

6、思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵a+36b≥2√36*ab,

∴(a+36b)^2≥144*ab,

81≥144*ab,

即：ab≤9/16,

则ab的最大值为9/16。

7、思路六：数形几何法

如图，设直线a+36b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ

8、思路七:构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(a+36b-9),

则偏导数f’a=b-λ,f’b=a-36λ,

f’λ=a+36b-9。

令f’a=f’b=f’λ=0，则：

b=λ,a=36λ。进一步代入得：

36λ+36λ=9,即λ=1/8.

则有a=9/2,b=1/8.

ab的最大值=9/2*1/8=9/16。

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