介绍函数29x^2+41y^2+2z^2=47的导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数29x^2+41y^2+2z^2=47的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵29x²+41y²+2z²=47,

∴58xdx+82ydy+4zdz=0，即：

2zdz=-29xdx-41ydy,

dz=-29xdx/2z-41ydy/2z，所以：

dz/dx=-29x/2z，dz/dy=-41y/2z。

2、直接求导法：

29x²+41y²+2z²=47,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

58x+0+4zdz/dx=0

2zdz/dx=-29x，即：dz/dx=-29x/2z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+82y+4zdz/dy=0

2zdz/dy=-41y，即：dz/dy=-41y/2z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=29x²+41y²+2z²-47，则：

Fz=4z，Fx=58x，Fy=82y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-58x/4z=-29x/2z;

dz/dy=-Fy/Fz=-82y/4z=-41y/2z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-29x/2z，

∴∂²z/∂²x=-29/2*(z+xdz/dx)/z²

=-29/2*(z+29x²/2z)/z²

=-29/4*(2z²+29x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-41y/2z.

∴∂²z/∂²y=-41/2*(z+ydz/dy)/z²

=-41/2*(z+41y²/2z)/z²

=-41/4*(2z²+41y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-29x/2z，dz/dy=-41y/2z.

∴∂²z/∂x∂y =29/2*(xdz/dy)/z²

=29/2*(-41xy/2z)/z²

=-1189/4*xy/z³.

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