已知x^2-y^2=89xy,求(x+y)/(x-y)的值

主要内容：介绍通过正比例换元、中值换元、三角换元以及二次方程求根公式等方法，计算代数式(x+y)/(x-y）在x^2-y^2=89xy条件下具体值的步骤。

方法/步骤

1、思路一：正比例替换

设y=kx,代入已知条件有：

x^2-(kx)^2=89x*kx，

(1-k^2)x^2=89kx^2，

1-k^2=89k，则：

k^2+89k-1=0,由求根根式有：

k=(-89±5√317)/2;

代数式=(x+kx)/(x-kx)=(1+k)/(1-k)

=(2±5√317)/89。

2、思路二：二次方程求根公式法

x^2-y^2=89xy,

y^2+89xy-x^2=0,将方程看成y的二次方程，

由求根公式有：

y=(-89±5√317)x/2,代入代数式有：

代数式

=[x+(-89±5√317)x/2]/[x-(-89±5√317)x/2]

=(2-89±5√317)/(2+89∓5√317)

=(2±5√317)/89。

3、思路三：结论换元法

设(x+y)/(x-y)=k,则：

y=(k-1)x/(k+1)，

又x^2-y^2=89xy,将y代入已知条件有：

x^2-(k-1)^2*x^2/(k+1)^2=89*x*(k-1)x/(k+1)

(k+1)^2-(k-1)^2=89(k^2-1),

89k^2-4k-89=0,

k=(2±5√317)/89。

4、思路四：中值替换

设x+y=2m,x-y=2n,则x=m+n,y=m-n,

(m+n)^2-(m-n)^2=89*(m+n)(m-n)

2mm+2mn=89(m^2-n^2)

89m^2-4mn-89n^2=0,由二次方程求根公式有，

m=(2±5√317)n/89。

则代数式=2m/2n

=m/n=(2±5√317)/89。

5、思路五：三角换元法

设x=cost,y=sint,则：

(cost)^2-(sint)^2=89*costsint,

2cos2t=89sin2t，即tan2t=2/89,

由万能公式有：

tan2t=2tant/(1-tan^2t)=2/89,即：

(tant)^2+89tant-1=0,

tant=(89±5√317)/2。

6、代数式

=(x+y)/(x-y)

=(cost+sint)/(cost-sint)

=(1+tant)/(1-tant)

=[1+(89±5√317)/2]/[1-(89±5√317)/2]

=(2+89±5√317)/(2-89∓5√317)

=(2±5√317)/89。

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