n阶导数计算解析举例F6

本文通过4个例子，介绍分式函数、对数与指数乘积函数、三角函数等的高阶导数计算方法步骤。

方法/步骤

1、例题1：

求y=x3/(72-x)的n阶导数。

解：先对y进行变形，得：

y=x3/(72-x)

=-[x2(72-x)+72x(72-x)+722(72-x)-723]/(72-x)

=-(x2+72x+722)+723/(72-x)

=-(x2+72x+722)-723/(x-72)。

求导有：

y´=-(2x+72)+723/(x-72)2，

y〞=-2-2*723/(x-72)3，

y”’=6*723/(x-72)4，

由于[1/(x-1)](n)=(-1)nn!/(x-1)n+1，

所以y(n)=723*(-1)n+1*n!/(x-72)n+1,n≥3.

2、例题2：

求y=31×3*lnx的n阶导数。

解：

对函数依次求导，得：

y´=62x2lnx+31×2

y〞=6*31xlnx+3*31x+2*31x=6*31xlnx+5*31x

y”’=6*31lnx+6*31+5*31=31(6lnx+11).

∵(lnx)(n)=(-1)n+1(n-1)!x-n

∴y(n)=186*(-1)n-2(n-4)!x-(n-3),n≥4.

3、例题3：

求y=cos225x的n阶导数。

解：先对三角函数进行降幂，得：

y=cos225x

=(1+cos31x)/2=(1/2)cos31x+(1/2).

而(cosx)(n)=cos[x+(nπ/2)],则：

(coskx)(n)=kncos[kx+(nπ/2)],

所以：y(n)=(1/2)*31ncos[31x+(nπ/2)],n≥1.

4、例题4：

求y=1/(x2-54x+665)的n阶导数。

解：先对函数表达式分母进行因式分解并裂项：

y=1/(x2-54x+665)=1/(x-35)(x-19)

y=1/(x-35)-1/(x-19)

由于[1/(x-a)](n)=(-1)nn!/(x-a)n+1;

所以y(n)=(-1)nn!/(x-35)n+1-(-1)nn!/(x-19)n+1，n≥1.

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