函数y=cos²(250x+270)的一阶导数三种计算

本文通过函数导数的定义、链式求导法则，以及三角函数和差化积、倍角公式、正弦函数导数、余弦函数导数公式等，介绍三种方法计算函数y=cos²(250x+270)的一阶导数。

方法/步骤

1、本文通过函数导数的定义、链式求导法则，以及三角函数和差化积、倍角公式、正弦函数导数、余弦函数导数公式等，介绍三种方法计算函数y=cos²(250x+270)的一阶导数。

2、※.导数定义计算法

【思路】：对于函数y=f(x)，其导数的极限定义为：

f'(x)=lim(t→0)[f(x+t)-f(x)]/t，则对本题有：

dy/dx= lim(t→0){cos²[250(x+t) +270]-cos²(250x+270)}/t，分子平方差公式有：

=lim(t→0){[cos(250x+250t+270)-cos(250x+270)]*[cos(250x+250t+270)+cos(250x+270)]}/t,

3、使用三角函数和差化积对分子有：

=lim(t→0){[cos(250x+250t+270)-cos(250x+270)]*[cos(250x+250t+270)+cos(250x+270)]}/t,

=lim(t→0){-4cos[250x+270+(250t/2)]sin(250t/2)*sin[250x+270+(250t/2)]*cos(250t/2)}/t

=lim(t→0)-2cos[250x+270+(250t/2)]sin[250x+270+(250t/2)]* lim(t→0){2sin(250t/2)*cos(250t/2)}/t,

=-250lim(t→0)sin[2(250x+270)+250t]*lim(t→0)sin(250t)/(250t),

=-250*sin2(250x+270)*1=-250sin2(250x+270)。

4、 

※.导数公式计算法

[思路]：函数由y=u²，u=cosv，v=ax+b复合而成，即可用链式求导法则计算函数的导数。

∵y=cos²(250x+270)

∴dy/dx=2*cos(250x+270)*[cos(250x+270)]’

=-2cos(250x+270)*sin(250x+270)*(250x+270)’=-250sin2(250x+270)。

5、※  .综合方法运用

[思路]：函数y为正弦的二次函数，可以用三角函数的二倍角公式，将其降幂，再使用余弦函数的导数公式计算即可。

∵y=cos²(250x+270)=(1/2)[1+cos2(250x+270)]=1/2+(1/2)cos2(250x+270)

∴dy/dx=0+(1/2)*[-cos2(250x+270)]*500

=-(1/2)*sin2(250x+270)*500=-250sin2(250x+270)。

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