二阶常微分方程114y''-293y'=0的通解计算步骤

本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程通解的计算步骤。

方法/步骤

1、※.分离变量法

由114y”=293y’有：

114d(y’)=293y’dx

114d(y’)/y’=293dx,两边同时积分有：

114∫d(y’)/y’=293∫dx，即：

114∫d(lny’)= 293∫dx，

114lny’=293x+C00,对方程变形有：

dy/dx=e^(293x/114+C00/114)=C01e^(293x/114),

再次积分可有：

∫dy= C01∫e^(293x/114)dx，即：

y=C01*(114/(293)∫e^(293x/114)d(293x/114)

=C1e^(293x/114)+C2。

2、※.一阶齐次微分方程求解

因为114 (y’)’-293y’=0，即：

(y’)’-(293/114)y’=0，按照一阶齐次微分方程公式有：

y’=e^(293/114∫dx)*(∫0*e^(-∫(293dx/114)dx+C0)，进一步化简有：

y’=C0 e^(293x/114)，继续对积分可有：

∫dy=∫C0 e^(293x/114)dx，即：

y=C0*114/293*∫C0e^(293x/114)d(293x/114)

=C1e^(293x/114)+C2。

3、※.二阶常系数微分方程求解

该微分方程的特征方程为114r^2-293r=0，即：

r(114r-293)=0，所以r1=293/114，r2=0。

此时二阶常系数微分方程的通解为：

y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)=C1e^(293x/114)+C2。

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