函数y=cos²(103x-2)的一阶导数计算过程

主要内容：

本文通过函数导数的定义、链式求导法则，以及三角函数和差化积、倍角公式、正弦函数导数、余弦函数导数公式等，介绍三种方法计算函数y=cos²(103x-2)的一阶导数。

方法/步骤

1、※.导数定义计算法

【思路】：对于函数y=f(x)，其导数的极限定义为：

f'(x)=lim(t→0)[f(x+t)-f(x)]/t，则对本题有：

dy/dx= lim(t→0){cos²[103(x+t) -2]-cos²(103x-2)}/t，分子平方差公式有：

=lim(t→0){[cos(103x+103t-2)-cos(103x-2)]*[cos(103x+103t-2)+cos(103x-2)]}/t,

2、使用三角函数和差化积对分子有：

=lim(t→0){[cos(103x+103t-2)-cos(103x-2)]*[cos(103x+103t-2)+cos(103x-2)]}/t,

=lim(t→0){-4cos[103x-2+(103t/2)]sin(103t/2)*sin[103x-2+(103t/2)]*cos(103t/2)}/t

=lim(t→0)-2cos[103x-2+(103t/2)]sin[103x-2+(103t/2)]* lim(t→0){2sin(103t/2)*cos(103t/2)}/t,

=-103lim(t→0)sin[2(103x-2)+103t]*lim(t→0)sin(103t)/(103t),

=-103*sin2(103x-2)*1=-103sin2(103x-2)。

3、※.导数公式计算法

[思路]：函数由y=u²，u=cosv，v=ax+b复合而成，即可用链式求导法则计算函数的导数。

∵y=cos²(103x-2)

∴dy/dx=2*cos(103x-2)*[cos(103x-2)]’

=-2cos(103x-2)*sin(103x-2)*(103x-2)’=-103sin2(103x-2)。

4、※  .综合方法运用

[思路]：函数y为正弦的二次函数，可以用三角函数的二倍角公式，将其降幂，再使用余弦函数的导数公式计算即可。

∵y=cos²(103x-2)=(1/2)[1+cos2(103x-2)]=1/2+(1/2)cos2(103x-2)

∴dy/dx=0+(1/2)*[-cos2(103x-2)]*206

=-(1/2)*sin2(103x-2)*206=-103sin2(103x-2)。

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