计算方程61x²+76y²+71z²=33的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程61x²+76y²+71z²=33的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵61x²+76y²+71z²=33,

∴122xdx+152ydy+142zdz=0，即：

71zdz=-61xdx-76ydy,

dz=-61xdx/71z-76ydy/71z，所以：

dz/dx=-61x/71z，dz/dy=-76y/71z。

2、直接求导法：

61x²+76y²+71z²=33,

对方程方程两边同时对x求导，得：

122x+0+142zdz/dx=0

71zdz/dx=-61x，即：dz/dx=-61x/71z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+152y+142zdz/dy=0

71zdz/dy=-76y，即：dz/dy=-76y/71z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=61x²+76y²+71z²-33，则：

Fz=142z，Fx=122x，Fy=152y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-122x/142z=-61x/71z;

dz/dy=-Fy/Fz=-152y/142z=-76y/71z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-61x/71z，

∴∂²z/∂²x=-61/71*(z+xdz/dx)/z²

=-61/71*(z+61x²/71z)/z²

=-61/5041*(71z²+61x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-76y/71z.

∴∂²z/∂²y=-76/71*(z+ydz/dy)/z²

=-76/71*(z+76y²/71z)/z²

=-76/5041*(71z²+76y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-61x/71z，dz/dy=-76y/71z.

∴∂²z/∂x∂y =61/71*(xdz/dy)/z²

=61/71*(-76xy/71z)/z²

=-4636/5041*xy/z³.

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