一元函数单调性与单调区间求解例题解析B

      本文通过导数知识，介绍一元函数单调性与单调区间的计算步骤，通过6种函数进行例题解析。

主要方法步骤

1、例题1：讨论y=e^x-x-2的单调性。

解：y=e^x-x-2,则y´=e^x-1.

令y´=0，则x=0.判断导数的符号为：

(1)当x≥0时，y´≥0，此时函数为增函数，

函数的增区间为[0,+∞）；

(2)当x＜0时，y´＜0，此时函数为减函数。

函数的减区间为(-∞，0)。

2、例题2：讨论函数f(x)=2x^3-4x^2+1的单调性。

解：y=2x^3-4x^2+1,

y´=6x^2-8x=2x(3x-4).

令y´=0，即x1=0,x2=4/3，则：

(1)当x∈(-∞，0]，[4/3,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(0，4/3)时，y´＜0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

3、例题3：判断y=(1/3)x^3+(3/2)x^2的单调性。

解：y=(1/3)x^3+(3/2)x^2,

y´=x^2+3x=x(x+3).

令y´=0，即x1=-3,x2=0，则：

(1)当x∈(-∞，-3]，[0,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-3，0)时，y´＜0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

4、例题4：求函数f(x)=(x+1)(x+3)^(2/3)的单调区间。

解：y=(x+1)(x+3)^(2/3).

y´=(x+3)^(2/3)+(2/3)(x+1)(x+3)^(-1/3)

=(1/3)(x+3)^(-1/3)*(5x+11).

令y´=0，即x1=-11/5，又x2=-3处导数不存在，则：

(1)当x∈(-∞，-3]，(-11/5,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-3，-11/5)时，y´＜0，此时函数为减函数。

5、例题5：求f(x)=x^2(x-2)^2的单调区间。

解：y=x^2(x-2)^2,

y´=2x(x-2)^2+2x^2(x-2)=2x(x-2)(2x-2).

令y´=0，即x1=0，x2=1，x3=2则：

(1)当x∈(0，1],(2,+∞）时，y´＞0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-∞，0]，[1,2]时，y´≤0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

6、例题6：讨论y=(x-3)3√x^2的单调性。

解：y=(x-3)x^(2/3).

y´=x^(2/3)+(2/3)(x-3)x^(-1/3)

=(1/3)x^(-1/3)*(5x-6).

令y´=0，即x1=6/5，又x2=0处导数不存在，则：

(1)当x∈(-∞，0)，[6/5,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(0，6/5)时，y´＜0，此时函数为减函数。

7、方法归纳：

通过上述例子，可见此类型讨论函数的单调性或求函数的单调区间，主要步骤为：

1.求函数的一阶导数。

2.由一阶导数为0，求解函数的驻点，同时注意导数不存在的点。

3.以函数的驻点、导数不存在的点，并结合函数的定义域，判断函数导数与0的关系，即可得到函数的单调性和单调区间。

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