隐函数75x²+61y²+35z²=8的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数75x²+61y²+35z²=8的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵75x²+61y²+35z²=8,

∴150xdx+122ydy+70zdz=0，即：

35zdz=-75xdx-61ydy,

dz=-15xdx/7z-61ydy/35z，所以：

dz/dx=-15x/7z，dz/dy=-61y/35z。

2、直接求导法：

75x²+61y²+35z²=8,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

150x+0+70zdz/dx=0

35zdz/dx=-75x，即：dz/dx=-15x/7z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+122y+70zdz/dy=0

35zdz/dy=-61y，即：dz/dy=-61y/35z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=75x²+61y²+35z²-8，则：

Fz=70z，Fx=150x，Fy=122y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-150x/70z=-15x/7z;

dz/dy=-Fy/Fz=-122y/70z=-61y/35z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-15x/7z，

∴∂²z/∂²x=-15/7*(z+xdz/dx)/z²

=-15/7*(z+15x²/7z)/z²

=-15/49*(7z²+15x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-61y/35z.

∴∂²z/∂²y=-61/35*(z+ydz/dy)/z²

=-61/35*(z+61y²/35z)/z²

=-61/1225*(35z²+61y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-15x/7z，dz/dy=-61y/35z.

∴∂²z/∂x∂y =15/7*(xdz/dy)/z²

=15/7*(-61xy/35z)/z²

=-183/49*xy/z³.

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