隐函数62x^54x+47e^6y=60x^37y的导数计算

     本文主要通过链式求导、全微分求导和函数求导法则，介绍隐函数62x^54x+47e^6y=60x^37y的导数计算的主要过程和步骤。

主要方法与步骤

1、※.链式求导法

62x^54x+47e^6y=60x^37y,

隐函数变形有：

62e^(54xlnx)+ 47e^6y=60e^(37ylnx)

两边同时求导有：

62e^(54xlnx)*(54lnx+54x/x)+47e^6y*6y’=60e^(37ylnx)*(37y’lnx+37y/x),

2、3348e^(54xlnx)*(lnx+1)+282e^6y*y’=2220e^(37ylnx)*(y’lnx+y/x),

y’=[2220e^(37ylnx)*y/x-3348e^(54xlnx)*(lnx+1)]/[ 282e^6y-2220e^(37ylnx)lnx]

=6[370e^(37ylnx)*y/x-558e^(54xlnx)*(lnx+1)]/[47e^6y-370e^(37ylnx)lnx]

=6[370*x^37y*y/x-558*x^54x*(lnx+1)]/( [47e^6y-370*x^37ylnx)

=6[370*y*x^(37y-1) -558*x^54x*(lnx+1)]/( 47e^6y-370*x^37ylnx)。

3、※.全微分法求导

隐函数变形为：

62e^(54xlnx)+47e^6y=60e^(37ylnx)，

使用全微分计算法，有：

62e^(54xlnx)*(54lnxdx+54dx)+282*e^6ydy=60e^(37ylnx)*(37lnxdy+37ydx/x)

3348*e^(54xlnx)*(lnx+1)dx+282*e^6ydy=2220*e^(37ylnx)*lnxdy+2220*e^(37ylnx)ydx/x

4、[282*e^6y-2220*e^(37ylnx)*lnx]dy=[2220*e^(37ylnx)y/x-3348*e^(54xlnx)*(lnx+1)]dx

[282*e^6y-2220*x^37y*lnx]dy=[2220*yx^(37y-1)- 3348*x^54x*(lnx+1)]dx

所以：dy/dx=[2220*yx^(37y-1)- 3348*x^54x*(lnx+1)] / [282*e^6y-2220*x^37y*lnx]

=6 [370*y*x^(37y-1) -558*x^54x*(lnx+1)]/( 47e^6y-370*x^37ylnx)。

5、※.函数法

设F(x,y)=62x^54x+47e^6y-60x^37y，则F对x,y的偏导数有：

F’x=62e^(54xlnx)*(54lnx+54)-60e^(37ylnx)*37y/x

=3348*e^(54xlnx)(lnx+1)-2220*x^37y*y/x

=3348*x^54x*(lnx+1)-2220*y*x^(37y-1),

F’y=282*e^6y-60e^(37ylnx)* 37lnx

=282*e^6y-2220*x^37y*lnx。

此时所求函数y对x的导数有：

y’=-F’x/ F’y

=-[3348*x^54x*(lnx+1)- 2220*y*x^(37y-1)]/(282*e^6y-2220*x^37y*lnx),

=6[370*y*x^(37y-1) -558*x^54x*(lnx+1)]/(47e^6y-370*x^37ylnx)。

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