高中数学二次项定理应用习题举例详解C2

本经验主要通过4道例题，详细介绍二次项展开式定理的运用计算步骤。

方法/步骤

1、※.已知[a/54x-√(x/3)]^9的展开式中x^3的系数为5/3，求常数a的值。

解：展开式通式Tᵣ =C(9,r)*(a/54x)^(9-r)*[-√(x/3)]^r,

=C(9,r)*a^(9-r)*(54x)^(r-9)*(-1)^r*(x/3)^(r/2),

=C(9,r)*(-1)^r*a^(9-r)*54^(r-9)*(1/3)^(r/2)*x^(3r/2-9),

=C(9,r)*(-1)^r*(a/54)^(9-r)* (1/3)^(r/2) *x^(3r/2-9),

根据题意有：

3r/2-9=3,求出r=8，代入有：

9-r=9-8=1,

C(9,r)=C(9,8)=9，

(-1)^r=(-1)^8=1，

(1/3)^(r/2)= (1/3)^4

根据系数关系有：

9*a/54*(1/3)^4=5/3,

即：a=5/3*3^4*54/9,所以a=810.

2、※.若(2x^5+1)^n的展开式各系数的和为1024，则n和展开式的常数项分别是多少？

解：求n时使用特殊值法计算，取x=1时，有：

(2+2)^n=1024,

即可求出n=5.

本题展开式通式为：

Tᵣ=C(5,r)*(2x^5)^(5-r)*1^r

=C(5,r)*2^(5-r)*x^(5*5-5r)*2^r *x^()

=C(5,r)*2^(5-r)*2^r*x^(5*5-5r)

因为求常数，所以：5*5-5r=0，

即r=5，则此时的系数为：

Tᵣ=C(5,r)*2^(5-r)*2^r

=C(5, 5)*2^(5-5)*2^r=1*1*32=32.

3、※.求二项展开式(4x+3)⁵中偶数项的系数和。

解：根据题意，设：

(4x+3)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,

偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，

分别令x=1和x=-1，有：

(4+3)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,

(4-3)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,

两式子相加有：

2(a₁+a₃+a₅)=(4+3)⁵+(4-3)⁵,即：

2(a₁+a₃+a₅)=16807+1,

2(a₁+a₃+a₅)=16808,所以：a₁+a₃+a₅=8404。

4、※.在(3-3x)^5*(28+42x)展开式中，x^3的系数是多少？

解：对(3-3x)^5来说，展开通项有：

Tᵣ=C(5,r)* 3^(5-r)*(-3x)^r

=C(5,r)* 3^(5-r)*(-3)^r* x^r

题意要求x^3的系数，考虑到28+42x有常数项和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=3和r=2，则：

T=T₁+T₂

=28*C(5,3)*3^(5-3)*(-3)^3+42*C(5,2)*3^(5-2)*(-3)^2

=-28*2430+42*2430=-68040+102060=34020.

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